Jeux mathématiques et logiques

L'intérêt d'un problème réside plus dans la recherche de la solution que dans la connaissance de celle-ci. Aussi seuls les énoncés sont disponibles sur cette page.

Les problèmes présentés ici sont de tous niveaux. Certains sont calculatoires, d'autres ne nécessitent aucune connaissance mathématique.

Belote en aveugle

Dans une pièce totalement noire, on vous remet un jeu de 52 cartes. On vous indique que parmi ces 52 cartes, 11 sont face vers le haut, les autres sont face vers le bas. Mais vous ne savez pas lesquelles. Vous ne pourrez revoir la lumière du jour qu'à la condition de tendre les 52 cartes, reparties en deux tas qui ont chacun le même nombre de cartes face vers le haut. Bien entendu, le sens des cartes est indistinguable au toucher.

Les points du Docteur Graph

Il s'agit d'arriver à placer un nombre fini de points sur un plan de telle façon que chaque point soit relié à exactement 5 autres points et que les droites qui relient ces points ne se croisent pas.

2 points avec chaque point relié à 1 autre point :
._.
 
3 points avec chaque point relié à 2 autre points :
  .
 / \
.___.

4 points avec chaque point relié à 3 autres points :
 ______
|      |
.___.  |
|  /|  |
| / |  |
./__.__|

Pour la solution, le ascii-art n'est pas conseillé. Dans le même genre, on peut essayer de placer des points sur un tore de facon à ce que chaque point soit relié à 6 autres.

Les mains vertes

Comment planter 10 arbres pour obtenir 5 rangées de 4 arbres, sans qu'un arbre n'appartienne à plus de deux rangées ?

Quelle piéce est la fausse ?

Jean le paysan possède 8 pièces de monnaie. L'une d'elle est fausse et est plus légère que les autres. Jean possède aussi une vielle balance qui lui permet de savoir entre deux tas, lequel est le plus lourd. Déterminer le nombre minimum de pesées que Jean devra effectuer pour savoir quelle est la fausse pièce.

Les boules melangées

Le même Jean est à nouveau confronté à un problème de pesée... Il vient de retrouver 6 boules de forme identique : 2 rouges, 2 vertes et 2 bleues. Il sait que pour chaque couleur il y a une boule légère et une boule lourde. Sachant que les boules légères pèsent toutes le même poids et que les boules lourdes pèsent toutes le même poids, en combien de pesée Jean peut-il déterminer pour chaque couleur quelle est la boule lourde et quelle est la boule légère ?

La chaine

On a six morceaux de chaîne de quatre maillons chacun.
Ouvrir un maillon coûte un euros.
Souder un maillon pour le fermer coûte cinq euros.
Quel est le coût pour former une seule chaîne avec ces morceaux ?

Le petit pont de bois

4 hommes doivent à tout prix traverser un petit pont de bois qui ne tient plus guère. Dans 18 minutes, ceux qui n'auront pas traversé seront rattrapés par leurs poursuivants. Problème, il fait nuit, et les hommes n'ont qu'une seule lanterne, qui ne peut éclairer que deux personnes a la fois, au maximum. Tous n'ayant pas le même sens de l'équilibre, il ne leur faut pas le même temps pour traverser: 1, 2, 5, et 10 minutes, pour chacun des quatre. Bien sûr, si deux traversent en même temps, ils vont à la vitesse du plus lent des deux. Comment font-ils?

La tablette de chocolat

Une tablette de chocolat coûte 1 euro.
Chaque tablette contient un coupon.
Avec 10 coupons, on obtient 1 tablette gratuite
Que vaut une tablette avec coupon ?

Une récompense à partager à résoudre

Ayant rendu service ensemble a un vieux sage, deux aventuriers se présentent a lui pour recevoir leur récompense. Le sage leur présente un tas de poudre d'or et leur explique qu'il ne peut décider pour eux qui est le plus méritant, et qu'ils doivent donc se mettre d'accord sur le partage. Pour cela, le premier doit proposer une proportion. Si l'autre accepte, c'est ce partage qui aura lieu. Si l'autre refuse, le sage retirera x% de l'or, et le second devra proposer un partage de ce qui reste. si c'est accepte, le partage est effectué, sinon, on recommence avec le premier après avoir à nouveau réduit la récompense de x% (de ce qui restait).
Ce que le sage ne sait pas, confiant qu'il est dans la nature humaine, c'est que les deux hommes sont des ruffians, et qu'ils n'ont pas du tout l'intention d'être sincères. Chacun veut obtenir le maximum, et sait qu'il en est de même de l'autre.
Une fois n'est pas coutume, les deux personnages sont parfaitement rationnels et intelligents.
Que se passe-t-il?

Les trisomiques

Attention, ce problème est très calculatoire !
Une population est composée entièrement de trisomiques. C'est une trisomie bégnine, quelqu'un qui n'aurait que deux chromosomes ne serait pas du tout différent d'un trisomique de ce type. Par contre, tout quadrisomie est mortelle. Les couples se forment sans aucune distinction de type, et tous les couples ont autant d'enfants.
Au bout de 13 générations, quelle est la proportion de trisomique dans la population ?
Remarque: dans cette population, il n'y a jamais d'"erreur" génétique. On rappelle que par conséquent, une personne disomique transmet de façon certaine exactement un chromosome, tandis qu'une personne trisomique a exactement une probabilité sur deux de transmettre deux chromosomes et une probabilité sur deux d'en transmettre un seul.

Un peu de cryptographie

Un code secret d'une extrême importance doit être confié à 5 personnes. Cependant aucune personne ou couple de personnes ne doit connaître le code complet et le code complet doit pouvoir être reconstitué par 3 personnes quelles qu'elles soient. En combien de parties le code doit-il être partagé et comment les affecter aux personnes ?

Le nénuphar

Soit un lac, dans lequel pousse un nénuphar. Ce nénuphar a la particularité de voir sa surface doubler en 24 heures. Il faut 28 jours à ce nénuphar pour recouvrir entièrement le lac.
Combien de temps faudrait-il à deux de ces nénuphars pour couvrir ce lac ?

Jeu de corde

Jean dispose d'un briquet et de deux cordes qui se consument en une heure chacune mais pas forcement uniformément... Comment fait-il pour chronométrer 3/4 d'heures ?

La pierre dans le bateau

Une fois n'est pas coutume, une petite énigme qui fait appel à des notions de physique.
Vous êtes dans un bateau qui flotte sur un lac. Dans ce bateau il y a une grosse pierre très lourde que vous jetez à l'eau. Que devient le niveau du lac ?
- il monte ?
- il baisse ?
- il ne bouge pas ?

La mouche et l'araignée

Dans un hangar de 30m de long, 12 de large et 12 de haut, ont élu domicile une mouche et une araignée. L'araignée, en mauvaise voisine ne pense qu'à une seule chose : manger la mouche. La mouche se trouve à un mètre du sol, au milieu d'une des faces carrées du hangar, l'araignée à un mètre du plafond, au milieu de la face opposée.
La mouche voudrait bien dormir. Se souvenant de son année passée dans une classe de Math Sup' à Henri IV, la mouche se dit : "Sachant que l'araignée se déplace à 1 m/s et que pour m'atteindre, elle devra parcourir 11m pour arriver au sol, 30m pour traverser le hangar et enfin 1m pour remonter jusqu'à moi, je peux dormir 42 secondes. Je n'ai qu'à régler mon réveil biologique sur 41 secondes et je n'aurai aucun problème."
La mouche ferme le yeux et s'endort, hélas, pour la dernière fois. L'araignée, se souvenant de son année dans une classe de Spé à Sainte Geneviève, a trouvé un chemin plus rapide pour atteindre la mouche.

Par où est donc passée l'araignée, et combien de temps a-t-elle mis ?

N.B. : Le hangar est entièrement clos ; l'araignée se déplace sur toutes les surfaces du hangar à la vitesse constante de 1 m/s et enfin elle ne peut pas tendre de fil au travers du hangar.

Quelle cruche !

A une fontaine, on dispose de deux bidons de trois et cinq litres. On veut obtenir 4 litres d'eau, comment faire ?

Crocro

Le petit crocodile est le fils du grand crocodile mais le grand crocodile n'est pas le père du petit crocodile. Qui est le grand crocodile ?

La grenouille dans l'escalier

Une grenouille doit monter 20 marches d'un escalier. Elle peut sauter les marches par une ou par deux. Combien a-t-elle de possibilités pour monter les 20 marches (sans redescendre de marche) ?

Les gladiateurs

Un empereur romain a fait prisonnier 100 grecs et veut en choisir une cinquantaine pour combattre dans l'arène des gladiateurs et libérer les autres.
Pour cela il décide de faire appel au hasard et élabore un stratagème très simple qu'il explique aux prisonniers :
"Demain vous vous placerez en file indienne de tel sorte que chacun ne puisse voir que les individus devant lui. A ce moment, nous vous peindrons une marque noire ou blanche derrière la tête.
Je vous demanderai ensuite à chacun quelle est la couleur de votre marque, en commençant par le dernier de la file et en remontant jusqu'au premier
Vous n'aurez le droit que de dire 'blanc' ou 'noir' et toute autre tentative suspecte sera punie de mort
Si vous répondez bon, je vous libère, sinon vous irez combattre dans l'arène". Les prisonniers ont toutes la nuit pour réfléchir ensemble et les grecs sont de redoutables mathématiciens et veulent à tout prix éviter de s'entretuer dans l'arène.
Combien de grecs se retrouvent dans l'arène le lendemain ?

Les 30 vassaux du sultan

Un riche sultan a 30 vassaux. Il sait que l'un d'eux le trompe et a pris l'habitude de payer ses impôts avec 100 pièces d'or de 99g et non de 100g, comme il le demande. Le sultan dispose d'une balance précise au gramme près. Comment peut-il en une seule pesée déterminer le coupable ?

Une orange surprenante

  On entoure la terre (rayon=6400km) d'une corde. On entoure une orange (rayon=5cm) d'une ficelle. De combien doit-on allonger respectivement la corde et la ficelle de manière à ce que la corde se trouve à 1 m de la surface de la terre et que la ficelle se trouve à 1 m de la surface de l'orange ?

TCP/IP sur pigeons

La guerre est presque finie. Les dernières troupes adverses qui n'ont pas voulu se rendre sont rassemblées ici. Demain soir, les armées des futurs vainqueurs se rassembleront et les déferont. Dejà, deux régiments, de part et d'autre du dernier régiment adverse, sont présents. Chacun est mené par un général, et tous deux aimeraient qu'on se rappelle d'eux comme ayant mené la dernière bataille. Pour cela, il faudrait attaquer demain à exactement midi, avant que le gros des forces n'arrive. Malheureusement, s'ils veulent vaincre, ils doivent attaquer simultanément (et partager la gloire, ce qui ne les gène pas), n'étant pas individuellement assez forts. Ils ne sont pas prêts a courir le moindre risque, aussi infime soit-il, d'attaquer seuls, ce qui causerait la perte de leurs hommes inutilement. Ils n'attaqueront donc que s'ils savent que l'autre attaquera aussi. Problème, ils ne peuvent communiquer que par l'intermédiaire de pigeons voyageurs, qui ont une chance (disons une chance sur dix) de se faire descendre par l'armée adverse. Ils peuvent donc communiquer autant qu'ils veulent en s'envoyant autant de pigeons qu'ils veulent, mais chaque pigeon a toujours une chance sur dix de ne pas réussir a transmettre son message, et celui qui l'a envoyé ne saura pas que son pigeon s'est fait descendre.
Que font les généraux? quelle procédure suivent-ils ?

Les moines

Cent moines vivent enfermés dans un monastère. Ils ont fait un choix de vie très pieu : Ils ne doivent pas communiquer entre eux. Ils ne se réunissent tous que 2 fois par jour, pour manger. Or un jour, l'un d'eux, par inadvertance prononce une parole. Pour les punir, Dieu leur dit :
"Je vais marquer X d'entre vous d'une croix sur le front. Dans X jours, ceux qui sont marqués devrons partir en pèlerinage à Jérusalem.".
Les moines ne connaissent pas le nombre X. Ils ne doivent toujours pas communiquer entres eux. Chaque moine ne sait pas s'il est marqué (Les miroirs sont interdits dans le monastère.). Et pourtant, le X^iéme jour, les X moines marqués partent en pèlerinage à Jérusalem. Comment ont-ils fait ?

Le loup, la chèvre et le chou

Un passeur doit faire passer d'une rive à l'autre un chou, une chèvre et un loup, en empruntant sa barque. Cependant, sa barque n'est pas assez grande pour contenir plus d'un des trois en plus de lui, qui doit manoeuvrer. De plus, il ne peut jamais laisser la chèvre et le chou ensemble, ni le loup et la chèvre, sans qu'il soit là pour empêcher que l'un dévore l'autre. Comment fait-il?

Les 1000 ampoules

On a un tableau d'ampoules, au nombre de 1000, numérotées. En dessous se trouvent 1000 interrupteurs numérotés. Quand on appuie sur un interrupteur, cela change l'état de toutes le lampes dont le numéro est un multiple du numéro de l'interrupteur. Par exemple, si l'on appuie sur l'interrupteur numéro 15, les lampes 15, 30, 45,... changent d'état, celles qui étaient allumées s'éteignent et vice-versa. Initialement, toutes les lampes sont éteintes. Un nabot passe et s'amuse a appuyer une fois sur chacun des interrupteurs. Quand il a fini, combien y a-t-il de lampes allumées?

Les 3 ampoules

Trois ampoules à incandescence se trouvent dans une pièce. 3 interrupteurs dans une autre, séparée par un mur. Chaque interrupteur allume une lampe. Vous êtes dans la salle des interrupteurs. Comment déterminer quelle lampe correspond a quel interrupteur avec un seul trajet jusqu'à la pièce avec les lampes.

Le galion chargé d'or

Un équipage de pirate aborde un galion charge d'or. Une fois leur boulot achève, se pose la question du partage. Il y a 1000 lingots, pour 20 pirates. Ces pirates sont un peu particuliers: d'une part ils sont extrêmement intelligents, et le savent, si bien qu'ils agissent toujours au mieux de leurs intérêts rationnels. D'autre part, il existe une hiérarchie très stricte entre les pirates, du capitaine jusqu'au dernier mousse, il y a un rang dans la subordination. Chacun est totalement égoïste, bien sur, et veut avant toute autre chose récupérer le maximum d'or. Le capitaine doit proposer un partage. Il peut l'imposer, mais sait que s'il a une majorité contre lui, les pirates se regrouperont pour faire une mutinerie, et il ne passera pas la nuit. Par contre, si la moitie au moins (lui compris) approuve le partage, il sera tranquille. Il propose donc la règle suivante: Le capitaine va proposer une répartition. Un vote va avoir lieu, a bulletins secrets. Si la majorité accepte le partage, c'est ce partage qui sera effectue (y compris en cas d'égalité). Sinon, le capitaine en tire les conséquence et rentre dans sa cabine. Puisque son vote a été rejeté, pour ne pas qu'on lui en tienne rigueur, il ne participera pas au partage et n'aura donc pas le moindre petit lingot. Au moins, il sauvera sa vie. Par contre, si le vote est rejeté, le partage sera fait selon la même procédure, que devra respecter le second: il proposera un vote, qui sera accepte ou non. S'il n'est pas accepte, il devra abandonner toute prétention, se retirer et laisser la place au subordonne direct du second, qui devra reproduire la procédure.
Tous les pirates voient la sagesse de ce partage, qui est démocratique, et donc imbattable. Quand le capitaine propose, ils votent au mieux de leurs intérêts, sans rancoeur ni mécontentement.
Que propose le capitaine, que se passe-t-il? Si nécessaire, que propose le second ensuite etc?

Les trois portes

Au bout d'un abominable donjon, un aventurier arrive devant trois portes. Il sait que derrière l'une d'elles se trouve un trésor, mais que derrière les deux autres se trouve un dragon qui le mangera tout cru.
Un lutin apparaît, et lui dit qu'une fois qu'il aura choisi une porte, il lui indiquera l'emplacement d'un dragon parmi les portes qu'il n'aura pas choisi.
Ne pouvant s'en remettre qu'au hasard, il s'approche d'une porte, et va pour l'ouvrir. A ce moment, le lutin, comme promis, lui dit
"Attention, derrière cette porte (il montre une autre porte que celle choisie) se trouve un dragon".
L'aventurier sait que le lutin ne peut pas mentir. Sachant que le lutin ne donnera aucune information supplémentaire, que fait-il?

Les deux trolls

  Amédé se retrouve au purgatoire. Là, il rencontre St Pierre. Celui-ci lui dit : "Amédé, tu as séché des dizaines d'heures de cours de math dans ta vie. Je te laisse une chance : Au bout de cette allée, il y'a deux trolls et deux chemins . Un chemin conduit au paradis alors que l'autre te mènera tout droit en enfer. L'un des trolls dit toujours la vérité, et l'autre ment toujours. Évidement, tu ne sauras pas lequel ment ni lequel dit la vérité. Tu pourra poser une question, et une seule, à un seul des deux Trolls. Tu as l'éternité pour réfléchir. Bonne chance."
  Quelle question Amédé peut-il poser pour savoir quelle chemin mène au paradis ?

Le billot ou l'ecartelement?

Un sage qui a eu le malheur de froisser un tyran, est condamné a mort par celui-ci. Comme le tyran veut se moquer du sage, il lui dit:
"Tu as menti en disant du mal de mon règne, tu seras donc condamné, car le mensonge doit être puni. Toutefois, dans ma grande clémence, je suis prêt à être magnanime. Tu as le droit de prononcer une phrase de ton choix, pour me montrer si tu fais la différence entre la vérité et le mensonge. Si tu persistes dans le mensonge, tu seras écartelé et tu souffriras atrocement. Si par contre tu dis la vérité, je serai bon, et tu ne seras pas écartelé, mais on te tranchera seulement la gorge."
Le sage sait que le tyran n'a qu'une parole, et qu'il ne reviendra en aucun cas devant ce qu'il a dit devant toute sa cour. Que dit-il?

Le problème des neufs points

Construire 4 segments de droite, sans lever le crayon, de manière à ce que par chaque point, il passe au moins un segment de droite.

Les boeufs de Newton (Version moderne)

   3 garespas ont mangé en 2 semaines l'herbe contenue dans 2 arpents de pré, plus celle qui y a poussé en 2 semaines. 2 garespas ont mangé en 4 semaines l'herbe contenue dans 2 arpents de pré, plus celle qui y a poussé en 4 semaines. Combien faut-il acheter de garespas pour manger en 6 semaines l'herbe contenue dans 6 arpents, plus l'herbe qui poussera pendant ces 6 semaines (on suppose que l'herbe croit uniformément et que les garespas la mangent uniformément pendant les temps indiqués) ?

Maya l'abeille

  Un train se rend de Paris à Marseille à la vitesse de 100 km/h. Au moment où le train part de Paris, Maya l'abeille part de marseille. Maya est très rapide et fait du 200 km/h. quand elle rencontre le train, elle fait automatiquement demi-tour et elle revient en gare de Marseille. Une fois arrivée en gare de Marseille, elle repart immédiatement en direction de Paris. Quand elle rencontre le train, elle fait demi-tour et ainsi de suite... Sachant que la distance (sncf) entre Paris et Marseille est de 1000 km, quelle est la distance parcourue par l'abeille au moment où le train arrive à destination ?

 P -------------------------------------- M
 A                                        <
 .........><*******************************
 ...................>                     <
 .............................><***********

Remi l'escargot

  Un escargot se déplace à la vitesse d'1 cm/s. L'elastique sur lequel il se trouve s'étire à la vitesse de 2 cm/s et mesure au départ 5 cm. Sachant que l'escargot se trouve initialement au milieu de l'élastique, va-t-il réussir à s'échapper ?

Une petite figure marrante

bizar.gif

Carré magique

  Le but du jeu est de placer 9 chiffres différents dans un carré,
de facon à ce l'addition des 3 nombres horizontaux ainsi
que celle des 3 nombres verticaux fasse 2000.

ex :
    1 2 3  6
    4 5 6  5
    7 8 9  5
           2
  1 3 6 8

Le restaurant

  Trois individus vont au restaurant. L'addition est de 250 Frs.Chaque personne donne un billet de 100 Frs.La serveuse ramène donc 50 Frs ( 5 pièces de 10 Frs).Chaque personne reprends 10 Frs et laisse donc 20 Frs de pourboire. Récapitulation: Chaque personne a dépensé:100 -10=90. Donc en tout: 90*3=270 Frs. Plus les 20 Frs de pourboire : 270+20=290. Or au début, il y avait 300 Frs ( 3 billets de 100 frs)... La pièce de 10 Frs s 'est elle perdu ?

1 est le plus grand nombre de N

  Dans N, 1 est le plus grand nombre : Démonstration par l'absurde
Si 1 n'est pas le plus grand nombre, alors je désigne par n le plus grand nombre. On a 1 < n et par conséquent n < n². Dès lors, n² est un naturel plus grand que le plus grand nombre n. Ceci est absurde donc 1 est bien le plus grand nombre naturel.

-1=1

-1=(-1)¹=(-1)^(2*1/2)=((-1)²)^1/2=1

1=0

Une petite intégration par partie:

   /          /         
   | 1/x dx = | 1*1/x dx
   /          /         
           /             
 = x*1/x - | x*(-1/x²) dx
           /             
      /
 = 1+ | 1/x dx
      /

D'où 0=1

N point sont toujours alignés

Procédons pas récurrence :
Pour n=2, c'est vrai.
Supposons ce résultat vrai pour un entier p de N et montrons le pour p+1.
Prenons les p premiers points. Il sont alignés (hypothèse de récurrence). De même, les p derniers points sont alignés. Or ces p derniers points et les p premiers points ont p-1 points en commun. Donc forcement, les p+1 points sont alignés.
Ceci termine la démonstration: Pour tout n de N, n points sont toujours alignés.

Contrôle surprise

Un prof de maths annonce à ses élèves: "La semaine prochaine, je vous ferais un contrôle surprise un jour où vous ne vous y attendrez pas". Partant de là, un des élèves fait remarquer aux autres que ça ne peut pas être vendredi, car dans ce cas, le jeudi soir ils sauraient que le contrôle aurait lieu le lendemain. Mais comme ça ne peut pas être vendredi, ça ne peut pas être jeudi non plus : mercredi soir, si le contrôle n'a toujours pas eu lieu, c'est qu'il aura lieu le jeudi (puisqu'on vient de démontrer que ça ne peut pas être vendredi).
Ainsi par récurrence, ils arrivent à la conclusion que le contrôle ne peut avoir lieu aucun jour de la semaine. Pourtant, la semaine suivante, le contrôle surprise à lieu le Mercredi, et comme prévu par le prof, les élèves ne s'y attendaient pas.
Ou est l'erreur de raisonnement ?

Les deux fils

Vous rendez visite à un de vos amis. Vous savez que celui-ci a deux enfants. Quand vous sonnez, c'est un garçon qui vient vous ouvrir. Quelle est la probabilité pour que l'autre enfant soit aussi un garçon ?

Chinoiseries

Le roi barbare Chee Rak aimerait que son pays compte plus d'hommes que de femmes, trouvant que ces dernières sont peu utiles à la nation (son jugement n'engage que lui). Il édicte donc une loi obligeant les couples à ne plus avoir d'enfants dès que naît une fille, mais par contre à continuer à en avoir tant qu'une fille n'est pas née. Ainsi se dit-il, il y aura des familles de plusieurs garçons, tandis qu'il n'y aura aucune famille de plus d'une fille: on aura donc plus de garçons que de filles. A votre avis, la méthode du roi est-elle efficace ?

Théorie des ensembles

Jean veut créer le catalogue de tout les catalogues qui ne se mentionnent pas eux-même.
Doit-il y ajouter son catalogue ?

Le partage infernal

Comment couper un gâteau en 8 morceaux en ne donnant que 3 coups de couteau ?

Max et Minnie

Les reines

Comment disposer huit reines sur un échiquier de façon à ce qu'aucune d'entre elles ne soit mise en échec par une autre ?

Les Rallyes Mathématiques de Bourgogne

Rallye Mathématique de Bourgogne 1994
Rallye Mathématique de Bourgogne 1995

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